SOBRE EL PRIMER CASO: FACTOR COMÚN

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 

Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:

4a - 8b + 6c =     

Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.

El resultado de esa división es:

2a - 4b + 3c

Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = 

En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x².
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:

x⁵:x² = x^5-2 = x³

En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:

x² : x⁵ = x^2-5 = x^-3

Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.

Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x²" en el ejemplo anterior:
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x.(7x + 11x² - 4x⁴ + 3x³  - x⁷)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".

Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltosSi sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:

5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)

Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.

Pero recuerda:

Los pasos a seguir son los siguientes:

a) Sacar el maximo comun divisor de los numeros, el cual representara el factor comun de los numeros.

b) Determinar el factor comun de las literales tomando la que tiene menor expresion y que se encuentra en todos los terminos.

c) Dividir cada uno de los terminos entre el factor comun.

d) Una vez realizada la factorizacion, igualar cada factor a cero.

e) Despejar y resolver como una ecuacion lineal.

f) Realizar las comprobaciones con la ecuacion original.

Videos de mucha ayuda:

http://www.youtube.com/watch?v=_6SZnJjusx4

http://www.youtube.com/watch?v=I654HQOnIew

Pienso que la factorización es quizá uno de los temas más importantes o fundamentales del álgebra básica, pues es mediante entender este tema que luego se nos van a facilitar mucho las cosas en otros temas del álgebra más avanzados.

La factorización es tan importante como saber las tablas de multiplicar en las matemáticas básicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemáticas.

Es muy probable que cuando estamos estudiando este tema de la factorización, nos parezca tedioso y muy complicado, pero en realidad es muy sencillo y divertido, es solo cuestión de aprender a diferenciar algunos pocos casos de factorización que nos darán la base para factorizar cualquier tipo de polinomio.

Binomio al cuadrado(reducción de ecuaciones).

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

ejemplo: 

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

El desarrollo de un un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.

a² + 2 a b + b² = (a + b)²

a² − 2 a b + b² = (a − b)²

Aqui esta un power point sobre el tema:

http://www.slideshare.net/maruja1945/sistema-de-ecuaciones-metodo-de-reduccin-13487462#btnNext

Un video de este tema:).

http://www.youtube.com/watch?v=o1wIYfvHzCc

http://www.youtube.com/watch?v=Fa7mpIpRVE4

http://www.youtube.com/watch?v=1-MKDIwP9t8

pues entendí que un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es un polinomio formado por la suma de dos monomios

Estadística.

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

Población

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Individuo

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Muestreo

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

Valor

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Definición de variable

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

Ejemplo: 

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden.

Ejemplos: 

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

Ejemplo: 

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.

Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por f_i.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n_i.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por F_i.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

            Un mapa conceptual de el tema:

           Aqui les dejo un link para que vean mas sobre estadística.

http://www.youtube.com/watch?v=MgzLlH4HWB8

Un link de power point:

http://www.slideshare.net/pabroj/presentacion-power-point-estadistica-02032012

Noción de probabilidad

Se dice que un suceso A es más probable que otro B si al realizar el experimento muchas veces,  A ocurre significativamente más veces que B.

La escena nos mostrará la frecuencia relativa de algunos sucesos al tirar el dado. Tira el dado unas 10 o 20 veces y a continuación pulsa los botones 1000 tiradas y 10000 tiradas.

Los posibles sucesos elementales al tirar el dado tienen prácticamente igual frecuencia relativa cuando realizamos más de 10000 tiradas. Las frecuencias relativas no varían significativamente después de realizar un gran número de tiradas

¿Estarías de acuerdo, a la vista de los resultados, en decir que la probabilidad de sacar un 2 es 1/6?

La probabilidad se mide entre 0 (probabilidad del suceso imposible) y 1 o 100% (probabilidad del suceso seguro).

La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Es conveniente conocer algunas de las propiedades básicas del cálculo de probabilidades:

• Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:

donde  denota al suceso contrario o suceso complementario de A.

• Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente excluyentes (es decir, que no pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra se calcula como la suma de las dos probabilidades individuales:

(1)

La extensión de la ley aditiva anterior al caso de más de dos sucesos mutuamente excluyentes A, B, C... indica que:

Consideremos, como ejemplo, un servicio de urología en el que el 38,2% de los pacientes a los que se les practica una biopsia prostática presentan una hiperplasia benigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnóstico es de cáncer (C). La probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de próstata no se confirme el diagnóstico de cáncer prostático será igual a:

Aqui les dejo algunos links para que entiendan mas sobre el tema.

http://www.slideshare.net/luisfajardo16/probabilidad-6864309

http://www.youtube.com/watch?v=ExOFfqNUtnU

http://augusta.uao.edu.co/moodle/file.php/121/E1_nociones_de_probabilidad.pdf

Aquí hay unos juegos al azar mas populares,por si no los conoces.

Juegos de Azar más populares

Bingo

La probabilidad de obtener una línea o el cartón entero depende del número de cartones que están interviniendo en el juego, por lo que dependerá del número de personas que estén jugando así como del número de cartones con que cada participante juegue. Como en este juego se sacan número hasta que alguien “canta bingo”, es decir, posee el cartón con los 24 números, la probabilidad depende del número de cartones en juego, así como, del control del jugador sobre sus cartones.

El número de posibles cartones únicos de bingo es: 552,446,474,061,128,648,601,600,000

Cara o Cruz

Los sumerios y asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de losdados. El juego de los dados consiste en lanzar un objeto de forma poliédrica sobre una superficie horizontal. Los posibles resultados numéricos están marcados en cada una de las caras del poliedro y se eligen tomando, normalmente, el resultado marcado en la cara que queda vista hacia arriba. El dado más convencional cuenta con seis caras por lo que la probabilidad de obtener un número (de los 6) es de 1 entre 6, es decir, 16,67%. Si lanzamos 2 dados 6 caras será del 4,76%. En China y la India se jugaban los dedos de la mano a los dados.

Lotería

Su origen se remonta al siglo XV cuando los comerciantes genoveses idearon este sistema como estrategia de venta, al estar constituidos los premios por mercancías.

En un sorteo de un cupón, la probabilidad de que te toque depende, del número de billetes en juego, así como del número de series. Como ejemplo se pondrá el sorteo extraordinario de Navidad en España, donde se ponen en juego 170 series de 85.000 billetes, de los cuales 13.334 se llevan premio. La probabilidad de que nos toque el premio mayor con un solo cupón es de 1 entre 14 millones y medio (170 series x 85.000 billetes).La cuantía del premio a recibir no sólo depende de la probabilidad de acierto, sino también del porcentaje que se devuelva como premio de la cantidad jugada, que suele ser de un 70%.

Quiniela

En cuanto a las quinielas, su acierto depende del número de posibilidades o posibles elecciones. Si hacemos una apuesta sencilla, tenemos que hacer frente a 3 elevado a la 14 de casos posibles, ya que en cada uno de los catorce partidos tenemos tres posibles resultados: 1, X, 2. Por lo tanto, hay que dividir nuestra apuesta (1) entre todas las posibilidades (3 a la 14), con lo que para llevarse el pleno hay una probabilidad de 1 entre casi 5 millones. La diferencia con otras formas de apuestas es que aquí, además del azar, existe una mayor probabilidad de acierto, que depende de la diferencia entre los equipos de fútbol en juego

Ruleta

El juego de la ruleta, típico de los casinos, debe su origen al matemático francés Blaise Pascal, de ahí que su nombre viene del término francés roulette, que significa rueda pequeña. En un principio poseía 36 números (la suma de los primeros 36 números da el número mágico por excelencia: 666) y a finales del siglo XIX, los hermanos Blanc la modificaron añadiéndole un nuevo número, el 0, y la introdujeron inicialmente en el Casino de Montecarlo. Esta ruleta cuenta con una proporción de premios de 36/37, que deja un margen para la casa del 2,7% (en Europa) o el 5,4% (en EE.UU.) si cuenta con dos ceros.

Tabulacion y graficacion.

La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de
cómo transforma la función los valores que le vamos dando.
A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su
comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un
máximo, etc.

Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función

y calcular los valores correspondientes para y, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas

cartesianas y unir los puntos por una curva suave.

En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo

se comporta la función y haremos un estudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que

tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el

comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa.

Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información

que requerimos.

Una función polinomial de grado uno tiene la forma:

y = a0 + a1x
El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta.
y = m x + b
En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente a0 corresponde a la ordenada al origen b
de la notación que usamos el semestre pasado y a1 corresponde a la pendiente m.
Ya estudiamos también el concepto de pendiente de la recta y vimos su interpretación geométrica.
Un ejemplo seria:
David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta $125.00 pesos.
Escribe una función que le ayude a calcular el importe y al comprar x litros de pintura.
Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función polinomial de grado uno.
Sabemos que cada litro le cuesta $125.00 pesos.
Si compra x litros, el importe y será de 125 x pesos.
La función es, entonces:
y = 125 x
En esta función a0 = 0, y a1 = 125, el precio de cada litro de pintura.
Y esa es la interpretación de la pendiente: ésta nos indica el precio de cada litro de pintura.
Un litro de pintura cuesta $125.00 pesos.
Observa cómo es que la pendiente nos indica que si queremos comprar un litro más de pintura
debemos pagar $125.00 pesos más. Y de hecho, por cada litro de pintura, pagamos esa cantidad.
La pendiente nos dice a qué razón crece el importe de la pintura comprada por David, por cada
litro más que compre.
 tuvimos oportunidad de deducir que el dominio de cualquier función polinomial
es el conjunto de todos los números reales.
Ahora vamos a deducir el contradominio de la función lineal, es decir, de la función polinomial
de grado 1.
Utilizando el concepto de cerradura, y sabiendo que los números reales son cerrados bajo la
suma y bajo la multiplicación, es evidente que, independientemente del valor x que le demos a la
función, ésta siempre podrá devolvernos un número para asignarlo a y.
Si suponemos que el coeficiente principal, que en este caso coincide con la pendiente de la recta,
es positivo, cuando los valores de x sean negativos y suficientemente grandes, tendremos valores
de y negativos también.
Por otra parte, cuando los valores de x sean positivos y suficientemente grandes, vamos a tener
valores de y positivos.
Aquí están unos vídeos que te explican bien la interpretación de una gráfica lineal.