La simetría axial (también llamada rotacional o radial o cilíndrica) es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierta mediatriz y conteniéndolo presentan idénticas características.
La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.
Aquí te dejo un video para que veas como se traza este tipo de simetría.
http://www.youtube.com/watch?v=FNSvDu_ENNg
http://www.youtube.com/watch?v=_7mac79KwKI
Aqui les dejo un power point donde encontraran, definicion, ejemplos de como resolverlo y ejercicios.
http://www.slideshare.net/gustavocessa/simetria-axial-12024871?ref=http://adriancanche.blogspot.mx/
conclusion:
En Este sencillo tema aprendi el tema de simetria axial, que es mover una figura de un lado a otro de el centro de simetria, esto quiero decir que las figuras son isometricas!, es decir, conservan las distancias entre los puntos y sus homologas.
martes, 11 de febrero de 2014
Teorema de pitagoras.
*El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
*En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas: Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
*En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Estas son las 3 formulas basicas para calcular el teorema de pitagoras o mas bien, los catetos y la hipotenusa.
Aqui les dejo un link para ver este video relacionado con este tema donde resolvera tus dudas sobre este,aqui en el video hay ejercicios,definiciones.
https://www.youtube.com/watch?v=rPlfmJDHfog
Aqui te dejo un power point por si quieres saber mas sobre el teorema.
http://www.slideshare.net/monicamoralesmaldonado/ppt-1-teorema-de-pitgoras?ref=http://adriancanche.blogspot.mx/
Aqui te dejo un power point por si quieres saber mas sobre el teorema.
http://www.slideshare.net/monicamoralesmaldonado/ppt-1-teorema-de-pitgoras?ref=http://adriancanche.blogspot.mx/
conclusion:
Con este tema he aprendido varias definiciones, ejemplos, y como resolver este sencillo ejercicio matematico, hecho o descubierto por "Pitagoras" un matematico griego, este personaje dio a entender que un triangulo rectandulo, es decir, que tiene un angulo de 90º, al la parte mas grande o la parte que esta enfrente del angulo, se le llama: Hipotenusa y a los otros dos lados catetos, a la suma de los catetos seria la hipotenusa.
Con este tema he aprendido varias definiciones, ejemplos, y como resolver este sencillo ejercicio matematico, hecho o descubierto por "Pitagoras" un matematico griego, este personaje dio a entender que un triangulo rectandulo, es decir, que tiene un angulo de 90º, al la parte mas grande o la parte que esta enfrente del angulo, se le llama: Hipotenusa y a los otros dos lados catetos, a la suma de los catetos seria la hipotenusa.
viernes, 6 de diciembre de 2013
Resolución de ecuaciones.
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2
+ bx + c (a≠0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva ( )( ) x +3 2x −1 = 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
( )( )
( )( )
2 3
2 3 4
2 3 0 4 0
2 3 4 0
2 5 12 0
2 5 3 9 0
2 6 3 9
3 2 1 9
2
2
2
=
= = −
− = + =
− + =
+ − =
+ − − =
− + − =
+ − =
x
x x
x ó x
x x
x x
x x
x x x
x x
2) Halle las soluciones de 8 16 0 3 2
x − x + x = .
Solución:
Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e
igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .
( 8 16) 0 2 x x − x + =
x(x −4)(x −4) = 0
x = 0 ó x −4 = 0
x = 4
Ejercicios:
Resolver cada ecuación por el método de factorización:
1) ( )( ) x +5 x −2 = 0
2) 3y 8y 9 2y 2 + − = 3) 9 4 0 2 x − =
4) 14 45 2 a − a = −
5) z( ) 2z −3 =14
6) 3 2 x −22x = 9x
Soluciones:
1) 2, –5
2) –3,1
3) 2/3, –2/3
4) 9, 5
5) 7/2, –2
6) 0, 11, –2
Aqui les dejo un power point:
Aqui les dejo un link de un video:
Diferencia de cuadrados.
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.
Pasos:
- Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
- Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Aqui les dejo un power point:
Un video de youtube para saber mas sobre el tema:
Trinomio de segundo grado.
Factorización de un trinomio de segundo grado
Dada una ecuación de seguno grado completa:
ax2 + bx + c = 0
Se puede descomponer en factores como sigue:
a · (x - x1) · (x - x2) = 0
Aqui abajo les dejo el link para unos videos de youtube sobre este tema:
http://www.youtube.com/watch?v=Sqi9Ct-zhHY
Aqui les dejo un power point sobre el tema:
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplos:
Los Pasos a seguir para factorizar un Trinomio cuadrado perfecto son los siguientes:
a) Sacar la raiz cuadrada de dos terminos que tengan raiz cuadrada exacta.
b) Multiplicar esas raices obtenidas por 2, el resultado debe de ser el temrino no utilizado, o bien el segundo termino.
c) Las raices obtenidas seran las que formen parte del binomio al cuadrado, separadas por el signo del segundo Termino.
a) Sacar la raiz cuadrada de dos terminos que tengan raiz cuadrada exacta.
b) Multiplicar esas raices obtenidas por 2, el resultado debe de ser el temrino no utilizado, o bien el segundo termino.
c) Las raices obtenidas seran las que formen parte del binomio al cuadrado, separadas por el signo del segundo Termino.
Aqui les dejo unos videos para que sepan mas sobre el tema:
Aun power point sobre el tema:
Es muy facil distinguir si es un trinomio cuadrado perfecto y cuando no lo es tambien
si es un trinomio cuadrado perfecto debe de sacar la raíz cuadrada de cada una de los que tienen raiz cuadrada exacta,te debe de dar el segundo termino mutiplicado por dos,siempre te debe de dar un binomio.
SOBRE EL PRIMER CASO: FACTOR COMÚN
Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".
Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".
Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo.
Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:
4a - 8b + 6c =
Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.
El resultado de esa división es:
2a - 4b + 3c
Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 =
En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x2.
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:
x5:x2 = x5-2 = x3
En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:
x2 : x5 = x2-5 = x-3
Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.
Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x2" en el ejemplo anterior:
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x.(7x + 11x2 - 4x4 + 3x3 - x7)
Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".
Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltosSi sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:
5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)
Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.
Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".
Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo.
Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:
4a - 8b + 6c =
Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.
El resultado de esa división es:
2a - 4b + 3c
Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 =
En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x2.
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:
x5:x2 = x5-2 = x3
En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:
x2 : x5 = x2-5 = x-3
Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.
Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x2" en el ejemplo anterior:
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x.(7x + 11x2 - 4x4 + 3x3 - x7)
Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".
Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltosSi sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:
5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)
Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.
Pero recuerda:
Los pasos a seguir son los siguientes:
a) Sacar el maximo comun divisor de los numeros, el cual representara el factor comun de los numeros.
b) Determinar el factor comun de las literales tomando la que tiene menor expresion y que se encuentra en todos los terminos.
c) Dividir cada uno de los terminos entre el factor comun.
d) Una vez realizada la factorizacion, igualar cada factor a cero.
e) Despejar y resolver como una ecuacion lineal.
f) Realizar las comprobaciones con la ecuacion original.
Videos de mucha ayuda:
http://www.youtube.com/watch?v=_6SZnJjusx4
http://www.youtube.com/watch?v=I654HQOnIew
Pienso que la factorización es quizá uno de los temas más importantes o fundamentales del álgebra básica, pues es mediante entender este tema que luego se nos van a facilitar mucho las cosas en otros temas del álgebra más avanzados.
La factorización es tan importante como saber las tablas de multiplicar en las matemáticas básicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemáticas.
Es muy probable que cuando estamos estudiando este tema de la factorización, nos parezca tedioso y muy complicado, pero en realidad es muy sencillo y divertido, es solo cuestión de aprender a diferenciar algunos pocos casos de factorización que nos darán la base para factorizar cualquier tipo de polinomio.
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