Resolución de ecuaciones.

La función cuadrática es una función de los reales en los reales 

cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2

 + bx + c (a≠0) y cuyo 

dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas 

utilizamos principalmente el método de factorización. 

Ejemplos: 

1) Resuelva ( )( ) x +3 2x −1 = 9 . 

 Solución: 

Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero 

multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después 

factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es 

conveniente verificar la solución final en la ecuación original. 

( )( )

( )( )

2 3

 2 3 4

2 3 0 4 0

 2 3 4 0

 2 5 12 0

2 5 3 9 0

2 6 3 9

 3 2 1 9

2

2

2

=

= = −

− = + =

− + =

+ − =

+ − − =

− + − =

+ − =

x

x x

x ó x

x x

x x

x x

x x x

x x

2) Halle las soluciones de 8 16 0 3 2

x − x + x = . 

 Solución: 

Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e 

igualar sus factores a cero y resolver en términos de x . 

 ( 8 16) 0 2 x x − x + = 

 x(x −4)(x −4) = 0 

 x = 0 ó x −4 = 0 

 x = 4 

Ejercicios: 

Resolver cada ecuación por el método de factorización: 

1) ( )( ) x +5 x −2 = 0 

2) 3y 8y 9 2y 2 + − = 3) 9 4 0 2 x − = 

4) 14 45 2 a − a = − 

5) z( ) 2z −3 =14 

6) 3 2 x −22x = 9x 

Soluciones: 

1) 2, –5 

2) –3,1 

3) 2/3, –2/3 

4) 9, 5 

5) 7/2, –2 

6) 0, 11, –2

Aqui les dejo un power point:

http://www.slideshare.net/matematicasec29/ecuaciones-cuadraticas-55670?from_search=1

Aqui les dejo un link de un video:

http://www.youtube.com/watch?v=ukOICp18I1g

Diferencia de cuadrados.

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Aqui les dejo un power point:

http://www.authorstream.com/Presentation/ivasanpi-1882370-diferencia-de-cuadrado-perfecto/

Un video de youtube para saber mas sobre el tema:

http://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY

Trinomio de segundo grado.

Factorización de un trinomio de segundo grado

Dada una ecuación de seguno grado completa:

ax² + bx + c = 0

Se puede descomponer en factores como sigue:

a · (x - x₁) · (x - x₂) = 0

Ejemplos 

1. 

2. 

3. 

Este trinomio no se puede factorizar porque la ecuación no tiene raíces reales.

Aqui abajo les dejo el link para unos videos de youtube sobre este tema:
http://www.youtube.com/watch?v=Sqi9Ct-zhHY
Aqui les dejo un power point sobre el tema:

http://www.authorstream.com/Presentation/ivasanpi-1882367-ecuaciones-de-segundo-grado-por-factorizacion/

Este tema se podria decir que es algo que te toma un poco de tiempo pensar ya que necesitamos que dos números sumados den un resultado, pero esos mismos números al multiplicarlos nos den otro,esto complica algo la ecuación pero con la practica y el empeño que le pongas nada es difícil.

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

Los Pasos a seguir para factorizar un Trinomio cuadrado perfecto son los siguientes:

a) Sacar la raiz cuadrada de dos terminos que tengan raiz cuadrada exacta.

b) Multiplicar esas raices obtenidas por 2, el resultado debe de ser el temrino no utilizado, o bien el segundo termino.

c) Las raices obtenidas seran las que formen parte del binomio al cuadrado, separadas por el signo del segundo Termino.

Aqui les dejo unos videos para que sepan mas sobre el tema:

http://www.youtube.com/watch?v=sXNm9C34APU

Aun power point sobre el tema:

http://www.authorstream.com/Presentation/ivasanpi-1882378-trinomio-cuadrado-perfecto/

Es muy facil distinguir si es un trinomio cuadrado perfecto y cuando no lo es tambien

si es un trinomio cuadrado perfecto debe de sacar la raíz cuadrada de cada una de los que tienen raiz cuadrada exacta,te debe de dar el segundo termino mutiplicado por dos,siempre te debe de dar un binomio.

SOBRE EL PRIMER CASO: FACTOR COMÚN

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 

Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:

4a - 8b + 6c =     

Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.

El resultado de esa división es:

2a - 4b + 3c

Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = 

En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x².
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:

x⁵:x² = x^5-2 = x³

En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:

x² : x⁵ = x^2-5 = x^-3

Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.

Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x²" en el ejemplo anterior:
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x.(7x + 11x² - 4x⁴ + 3x³  - x⁷)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".

Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltosSi sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:

5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)

Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.

Pero recuerda:

Los pasos a seguir son los siguientes:

a) Sacar el maximo comun divisor de los numeros, el cual representara el factor comun de los numeros.

b) Determinar el factor comun de las literales tomando la que tiene menor expresion y que se encuentra en todos los terminos.

c) Dividir cada uno de los terminos entre el factor comun.

d) Una vez realizada la factorizacion, igualar cada factor a cero.

e) Despejar y resolver como una ecuacion lineal.

f) Realizar las comprobaciones con la ecuacion original.

Videos de mucha ayuda:

http://www.youtube.com/watch?v=_6SZnJjusx4

http://www.youtube.com/watch?v=I654HQOnIew

Pienso que la factorización es quizá uno de los temas más importantes o fundamentales del álgebra básica, pues es mediante entender este tema que luego se nos van a facilitar mucho las cosas en otros temas del álgebra más avanzados.

La factorización es tan importante como saber las tablas de multiplicar en las matemáticas básicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemáticas.

Es muy probable que cuando estamos estudiando este tema de la factorización, nos parezca tedioso y muy complicado, pero en realidad es muy sencillo y divertido, es solo cuestión de aprender a diferenciar algunos pocos casos de factorización que nos darán la base para factorizar cualquier tipo de polinomio.

Binomio al cuadrado(reducción de ecuaciones).

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

ejemplo: 

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

El desarrollo de un un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.

a² + 2 a b + b² = (a + b)²

a² − 2 a b + b² = (a − b)²

Aqui esta un power point sobre el tema:

http://www.slideshare.net/maruja1945/sistema-de-ecuaciones-metodo-de-reduccin-13487462#btnNext

Un video de este tema:).

http://www.youtube.com/watch?v=o1wIYfvHzCc

http://www.youtube.com/watch?v=Fa7mpIpRVE4

http://www.youtube.com/watch?v=1-MKDIwP9t8

pues entendí que un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es un polinomio formado por la suma de dos monomios

Estadística.

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

Población

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Individuo

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Muestreo

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

Valor

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Definición de variable

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

Ejemplo: 

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden.

Ejemplos: 

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

Ejemplo: 

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.

Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por f_i.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n_i.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por F_i.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

            Un mapa conceptual de el tema:

           Aqui les dejo un link para que vean mas sobre estadística.

http://www.youtube.com/watch?v=MgzLlH4HWB8

Un link de power point:

http://www.slideshare.net/pabroj/presentacion-power-point-estadistica-02032012