SOBRE EL PRIMER CASO: FACTOR COMÚN

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 

Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:

4a - 8b + 6c =     

Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.

El resultado de esa división es:

2a - 4b + 3c

Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = 

En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x².
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:

x⁵:x² = x^5-2 = x³

En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:

x² : x⁵ = x^2-5 = x^-3

Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.

Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x²" en el ejemplo anterior:
7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x.(7x + 11x² - 4x⁴ + 3x³  - x⁷)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".

Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltosSi sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:

5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)

Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.

Pero recuerda:

Los pasos a seguir son los siguientes:

a) Sacar el maximo comun divisor de los numeros, el cual representara el factor comun de los numeros.

b) Determinar el factor comun de las literales tomando la que tiene menor expresion y que se encuentra en todos los terminos.

c) Dividir cada uno de los terminos entre el factor comun.

d) Una vez realizada la factorizacion, igualar cada factor a cero.

e) Despejar y resolver como una ecuacion lineal.

f) Realizar las comprobaciones con la ecuacion original.

Videos de mucha ayuda:

http://www.youtube.com/watch?v=_6SZnJjusx4

http://www.youtube.com/watch?v=I654HQOnIew

Pienso que la factorización es quizá uno de los temas más importantes o fundamentales del álgebra básica, pues es mediante entender este tema que luego se nos van a facilitar mucho las cosas en otros temas del álgebra más avanzados.

La factorización es tan importante como saber las tablas de multiplicar en las matemáticas básicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemáticas.

Es muy probable que cuando estamos estudiando este tema de la factorización, nos parezca tedioso y muy complicado, pero en realidad es muy sencillo y divertido, es solo cuestión de aprender a diferenciar algunos pocos casos de factorización que nos darán la base para factorizar cualquier tipo de polinomio.